Standardnormalverteilung berechnen

Die Verteilung von Wahrscheinlichkeiten gehört zu den unverzichtbaren Werkzeugen der Statistik und kommt dementsprechend häufig zur Anwendung. Dazu gehört neben der Verteilungsfunktion und Dichtefunktion auch die sogenannte Standardnormalverteilung, die auch als standardisierte Normalverteilung oder Standardverteilung bezeichnet wird. Die vergleichsweise Häufigkeit des Einsatzes von Normalverteilungen in der Praxis lässt sich aus ihrer guten Anwendbarkeit erklären – sie eignen sich beispielsweise für die Darstellung der Verteilung physischer Kennzeichen wie Augen- oder Haarfarbe und Körpergröße, aber auch für die Erfassung zufälliger Abweichungen in Produktionsprozessen.

Normalverteilung und Standardnormalverteilung

Das Zusammenkommen von einem Erwartungs- bzw. Mittelwert bei 0 und der Standardabweichung 1 ist kaum mehr als eine theoretische Annahme, denn schnell leuchtet ein, dass eine solche standardisierte Normalverteilung in der Realität eben nicht auftritt. Bei der Auswertung praktischer Daten liegt der Mittelwert ja eher nicht bei 0. Dennoch kann eine beliebige Normalverteilung in eine Standardverteilung überführt werden, und zwar mithilfe der sogenannten z-Transformation. 

Die Wahrscheinlichkeitswerte lassen sich dann aus einer online leicht auffindbaren Tabelle für Standardnormalverteilungen ablesen. Das erspart dir bei einer statistischen Arbeit die aufwändige Berechnung. Grafisch wird die Normalverteilung durch eine Glockenkurve oder Gauß-Kurve dargestellt. Der Graph hat die Form einer Glocke, deren Scheitelpunkt bei der größten Häufigkeit liegt. 

Standardnormalverteilung am Beispiel erklärt

Ein gern bemühtes Beispiel für die Erläuterung der Standardnormalverteilung ist die Körpergröße bei einer beliebigen Gruppe von Personen, etwa bei den männlichen Einwohnern eines Gebiets. Hier kann man von einem Mittelwert bzw. Erwartungswert = 1,80 m und einer Standardabweichung = 0,1 m ausgehen.

Will man nun wissen, wie groß der Anteil der Männer ist, die größer als 1,95 m sind, muss man dazu die Standardisierung vornehmen – diese wird auch als z-Transformation bezeichnet. In diesem Fall lässt sich z folgendermaßen berechnen: 

        z = (1,95 m - 1,80 m) / 0,1 m = 0,15 m / 0,1 m = 1,5.

Nach dem Transformieren kann man den z-Wert in einem nächsten Schritt nun nutzen, um in der Tabelle für die Standardnormalverteilung den gesuchten Wert abzulesen – ein z-Wert von 1,5 führt in der Tabelle zu dem Ergebnis 0,933193. Für die Berechnung bedeutet das, dass 93,3 % der männlichen Einwohner des untersuchten Gebiets weniger als 1,95 m groß sind und nur 6,7 % eine höhere Körpergröße aufweisen! 

z-Werte

Die sogenannten z-Werte sind standardisierte Zufallsvariablen, die für statistische Tests von grundlegender Bedeutung sind. Ihre Berechnung lässt sich in einer einfachen Formel darstellen:    Dabei ergibt sich die standardnormalverteilte Zufallsvariable z aus der Subtraktion des Erwartungswertes μ von der Zufallsvariable X, deren Ergebnis durch die Standardabweichung Sigma σ geteilt wird. 

Bei routinierter Verwendung der Standardnormalverteilung fällt auf, dass es z-Werte gibt, die häufiger vorkommen. Das liegt an den Mustern der Verteilung – die Werte z = 1.96 und z = –1.96 definieren die sogenannte 2,5%-Grenze, denn innerhalb des durch diese beiden Werte bestimmten Intervalls liegen rund 95% aller Werte, nur 5% finden sich außerhalb, und zwar jeweils 2,5% rechts und links (bzw. left und right) der Grenzen. Weitere Grenzwerte sind  z = 2.58 und z = –2.58 – sie schließen 99% aller Werte ein, das Intervall von  z = 3.29 und z = –3.29 sogar 99,9% aller Werte.

Tabelle der Standardnormalverteilung 

Da die z-Werte also Gesetzmäßigkeiten folgen, lassen sich die Wahrscheinlichkeiten, die sich aus ihrer Berechnung ergeben, in einer entsprechenden Tabelle nachlesen. Diese Tabelle findet sich in Fachbüchern, wird auch in Vorlesungen vorgestellt und lässt sich leicht online finden. Sie nimmt dir die eigenständige Berechnung der Wahrscheinlichkeit ab und gehört zum Handwerkszeug der Statistik. Beim Ablesen der Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Tabelle solltest du beachten, dass in der ersten Spalte die ersten zwei Ziffern und in der ersten Zeile die zweite Nachkommastelle angegeben werden.
 
Die Standardnormalverteilung ist mithilfe der relativ einfachen Formel zur Berechnung des z-Wertes und der entsprechenden Tabelle eine unkomplizierte Methode der Transformation einer Normalverteilung. Dementsprechend häufig wird das Verfahren in der Statistik angewendet. Da es von so grundlegender Bedeutung ist, solltest du dir gleich zu Beginn deines Studiums mit diesem wichtigen Tool vertraut machen.